Логический провал на этапе "Теперь я извлекаю квадратный корень из обеих частей равенства". Это не есть тождественное преобразование. Вот, собственно, и всё.
Там имелось в виду, что 144 — 276 + 529/4 = 12^2 — 2*12*(23/2) + (23/2)^2 = (12 — 23/2)^2
и т. д.
Формула сокращенного умножения.