Розовое позвани — в том случае, если оно заменяет собой страховку (то есть пригласивший обязался в случае чего всё оплатить). Сейчас этого практически не бывает (пригласивший должен был бы подтвердить наличие не только средств для себя и приглашаемого, но и "страховых" 30 тысяч евро), так что страховку. О штамповании позвани на границе, честно говоря, впервые слышу.
Никаких вопросов по поводу места жительства не возникало. Приносились: паспорт с визой, пруводка, позвани вместо страховки, когда это было реально, или страховка без позвани, листочек регистрации, в котором, строго говоря, пишешь адрес, какой захочешь, и ставишь "подпись неразборчиво" (без имён-фамилий) за убытователя. Его забирают, ставят на нём кучу штампов, и на пруводке проштамповывают факт регистрации. Никакой оплаты за это нет.
На регистрацию — три рабочих дня, включая день приезда (если он рабочий). Регистрировались и на четвёртый-пятый, молча (или с разговором: надо ж было раньше — так у вас в очереди недостоялись).