С праздничком, что ли?

[Dim]

Matik, а ты не мог бы популярно изложить (честно- очень интересно!) какие практические применения несёт геометрия Лобачевского?
А я бы тебе запузырил про тензорную функцию тензорной переменной. (Шутка)

[Matik]

Вначале стоит разобраться с тем, что понимается под геометрией Лобачевского. В его время геометрия всё ещё находилась в форме, приданном ей Евклидом: собрание аксиом и выводимых из них теорем. Поскольку аксиомы были взяты из наблюдений за реальным миром, теоремы евклидовой геометрии вполне пригодны для расчётов расстояний, площадей и т.д. Весьма практично.

 

Теперь приходит какой-то Лобачевский (да ещё в компании с Больяи и Гауссом), и предлагает заменить аксиому о существовании одной-единственной параллельной прямой на аксиому о существовании нескольких параллельных. Поскольку новая аксиома не согласуется с опытом, из неё следует полная чушь:
- прямоугольников не существует;
- сумма углов треугольника зависит от его размера;
- теорема Пифагора неверна;
- площадь треугольников никогда не превышает определённой величины, вне зависимости от их размера.

 

Можно ли такую геометрию использовать в практических целях? Конечно, нет.

 

Но впоследствии, уже после смерти Лобачевского (кстати, он умер 24-го февраля 1856 года - через тридцать лет и один день после того доклада) выяснилось, что выводы его геометрии совершенно верны - только они относятся не к плоскому пространству, а к искривлённому. Как заметил итальянский математик Бельтрами, геометрия Лобачевского описывает положение дел не на плоскости, а на псевдосфере - несколько странной, но вполне реальной поверхности.

 

 

Только что же следует понимать под "прямой линией" на искривлённой поверхности? Ответ прост - это кратчайший путь из одной точки в другую. При таком подходе к прямым линиям геометрия Лобачевского вполне согласуется с реальностью.

 

Однако кому нужна эта псевдосфера? Может быть, и никому. Однако ничто не мешает распространить эту идею на произвольные поверхности, и притом в любом числе измерений. Это было сделано Риманом в его знаменитой лекции 10 июня 1854 года, заложившей основы римановой геометрии - попросту геометрии искривлённого пространства. В рамках этой общей теории геометрия Лобачевского оказывается весьма частным случаем - она описывает двумерное пространство, кривизна которого отрицательна и не меняется от точки к точке.

 

Без римановой геометрии не было бы общей теории относительности (о чём говорит уже само понятие гравитационного искривления пространства). В свою очередь, без ОТО космология была бы совсем печальным зрелищем. Более практичное применение: Global Positioning System, система из 24 спутников и наземных установок, предназначенная для точного определения координат сигнала (SOS, к примеру). Атомные часы на борту спутников, находясь в более слабом гравитационном поле, идут быстрее наземных - и это следует учитывать.

 

С искривлёнными поверхностями приходится иметь дело в разных областях науки, например в механике. Последовательные главы из попавшейся мне книги: Riemannian Geometry, Mechanics of Lagrange and Hamilton, Symplectic Geometry, Hamilton-Jacobi Mechanics. Также наугад я взял в библиотеке книгу о робототехнике ("Geometrical methods in robotics"), геометрический аппарат там довольно серьёзный, потому как описать траекторию движения многосоставной руки робота - не шутка.

 

Суммируя: заслуга Лобачевского в том, что он заставил математиков взглянуть на геометрию по-новому, не с точки зрения Евклида. Тот частный пример, который он описал, был только началом нового подхода к геометрии, плоды которого появились намного позже.

[Matik]

Кстати, открытие неевклидовой геометрии - вероятно, самый изученный момент в истории математики, и тем не менее не лишённый неясностей.

 

Гаусс рассматривал вопрос о существовании неевклидовой геометрии примерно с 1800-го. Так как он ничего на эту тему не опубликовал, трудно сказать, когда он пришёл к идее о её непротиворечивости. Во всяком случае, в 1824-м, отвечая на одно письмо, он определённо заявил, что "предположение о том, что сумма углов треугольника меньше 180 градусов, ведёт к необычной геометрии, отличной от нашей, но непротиворечивой."

 

Лобачевский и Больяи разработали неевклидову геометрию значительно глубже, чем Гаусс, и притом одновременно - работа была в основном завершена к 1823 году. Лобачевский опубликовал свой труд первым, в 1829-м, но в не читаемом за пределами России журнале - Вестнике Казанского университета. Причиной было то, что кое-кто (а именно Остроградский) отверг его статью, посланную в журнал Российской Академии Наук. Относительную известность приобрела только его публикация на немецком языке в 1840-м. Однако в 1846 Лобачевскому пришлось уйти в отставку из университета.

 

Больяи опубликовал своё исследование в 1831-м, в виде приложения к книге своего отца. Оно также осталось незамеченным. Его отец послал книгу Гауссу и получил ответ в том смысле, что он (Гаусс) об этом знал уже около 30 лет. Больяи, в отличие от Лобачевского, больше ничего не напечатал, и провёл остаток жизнь в депрессии.

 

Можно сказать, что Больяи и Лобачевский пожертвовали своими карьерами напрасно - неевклидову геометрию начали принимать всерьёз только после смерти Гаусса в 1855, когда его письма были опубликованы (авторитет!). Грустная история, в общем.

[Dim]

Спасибо за ликбез!