К сожалению, я не знаю, регулируется ли этот вопрос законом. Но, вероятно, все зависит от условий Вашего конкретного договора. Лично у меня был разный опыт: в каких-то случаях платил жилец, в иных - хозяин. Но "по умолчанию", как мне кажется, все-таки это дело хозяина.
Но в любом случае, извините за банальность, если уж платить придется Вам, то только за тот период, когда Вы проживали в квартире. Уж "повесить" на вас недоплатки прежних периодов было бы полным абсурдом.