Да, IМHO, тушканчик прав(-а), нужно срочно находить работодателя с разрешением принимать на работу иностранцев, и оформить у него новый договор/разрешение на работу, и занести их в полицию с объяснением.
Есть ещё возможность - убалтывать работодателя, договориться с ним, чтобы не "сообщал, куда следует". По закону работодатель, разрывающий отношения с иностранцем, должен сообщить об этом на працак, а працак сообщает в полицию. Т. е. если он "не настучит", визу теоретически не аннулируют. Но тут есть вопрос - кто и как будет платить обязательные страховые взносы и налоги с зарплаты?
Но самую точную информацию Вам может предоставить Gleb.