эх, заключать вы можете когда угодно, что угодно и с кем угодно, только вот юридическую силу все это будет иметь только если у них будет действительное разрешение на работу именно на вас, именно на ту фирму, с которой вы будет заключать договор и на тот срок, который будет в разрешении
Я полагаю, ситуация будет следующей:
1) никто на вас пока ничего не оформлял и оформлять не собирается в ближайшее время - они думают, что до марта еще куча времени и они все успеют потом.
2) договор они с вами формально заключат с 1 января, если вы не хотите, чтобы они знали о вашем уходе, подписывайте, только не толкайте их в спину, чтоб побыстрее переоформляли вам разрешение - у них там сейчас и так полный кавардак с бумагами, им не до вас.
3) зарплату вам будут платить по старому разрешению, других оснований у них не будет - у дочерней фирмы и у основной разные регистрационные коды в торговом реестре (вряд ли по-другому)
4) с 1 марта уходите на больничный и больше не парьтесь по этому поводу, а с 14 вы там уже официально не работаете, разрешения-то нет. В это же время приходите на работу в новую фирму, у них на вас уже готово разрешение на работу.
Здесь много слабых моментов, сразу предупреждаю, начиная больничным и заканчивая 14 днями одновременного hlavniho pracovniho pomeru на двух разных фирмах, но как вариант протиснуться "промиж крапельок"...
Если отношения с работодателями нормальные, может, проще сразу договриться в открытую о том, что заявление об уходе примут задним числом?